2. DISTRIBUCIÓN  MULTINOMIAL.

Características:

a)      Al llevar a cabo un experimento con esta distribución se esperan más de dos tipos de resultados.

b)      Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados son constantes.

c)      Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes.

d)      El número de repeticiones del experimento, n es constante.

Al igual que hicimos con la distribución binomial, en este caso partiremos de un ejemplo para obtener la fórmula general para resolver problemas que tengan este tipo de distribución.

Ejemplo:

Se lanza al aire un dado normal, 5 veces, determine la probabilidad de que aparezca dos números uno, dos números tres y un número cinco.

Solución:

Si pensamos en la forma que se han resuelto otros problemas, lo primero que se me ocurre es trazar un diagrama de árbol que nos muestre los 5 lanzamientos del dado; esto sería muy laborioso, y se muestra parte del mismo a continuación;

                                                                 1

                                                                 2                                             1

                             1                                 3                                             2

                                                                 4.....                                      3

                                                                 5                                             4

 2º lanzamiento          6                                              5

                                                                         5ºlanzamiento 6                                                                                                                

                            2

 


      

                             3

a

 


                             4                                 1

                                                                 2

1er lanzamiento         5                             3          2º lanzamiento

                                                                 4

                               6                    6          5

 

Del diagrama de árbol se obtendría el espacio muestral y enseguida se determinarían las probabilidades requeridas. En lugar de lo anterior, obtendremos una fórmula a partir de la siguiente expresión:

 

 

p(aparezcan dos unos, dos tres y un cinco)=(número de ramas en donde haya dos unos, dos tres y un cinco)(probabilidad asociada a cada una de las ramas)

 

Para esto definiremos lo siguiente:

 

n =  número de lanzamientos del dado

x1 = número de veces que aparece el número 1 = 2

x2 = número de veces que aparece el número 2 = 0

x3 = número de veces que aparece el número 3 = 2

x4 = número de veces que aparece el número 4 = 0

x5 = número de veces que aparece el número 5 = 1

p1 = probabilidad de que aparezca el número 1 = 1/6

p2 = probabilidad de que aparezca el número 2 = 1/6

p3 = probabilidad de que aparezca el número 3 = 1/6

p4 = probabilidad de que aparezca el número 4 = 1/6

p5 = probabilidad de que aparezca el número 5 = 1/6

p6 = probabilidad de que aparezca el número 6 = 1/6

 

Luego, ¿cómo obtendremos el número de ramas donde aparecen dos números 1, dos números 3 y un número 5?

 

Enunciando algunas de las ramas, tenemos lo siguiente;

 

(1, 1, 5, 3, 3), (5, 1, 1, 3, 3), (1, 3, 3, 1, 5), ... etc, etc.

 

¿Qué tipo de arreglos son estos, combinaciones, permutaciones o que?

SON PERMUTACIONES EN DONDE HAY OBJETOS IGUALES.

Por tanto el número de ramas se puede obtener de la siguiente manera:

 

 

El número de ramas =

 

Y en forma general,

 

 

                                   

 

Luego la probabilidad asociada a cada una de las ramas, sería;

p(asociada a cada una de las ramas) = p(#1)p(#1)p(#3)p(#3)p(#5)=p1*p1*p3*p3*p5=

                                                           =p12*p32*p5

 

Por tanto la fórmula general será:

 

                          

 

donde:

 

p(x1, x2,....,xk, n) = probabilidad de que en n ensayos aparezcan x1 objetos del primer tipo, x2 objetos del segundo tipo.......y xk objetos del último tipo.

 

n = x1+x2+....xk

 

Resolviendo el ejemplo;

n = 5

x1 = número de veces que aparece el número 1 = 2

x2 = número de veces que aparece el número 3 = 2

x3 = número de veces que aparece el número 5 = 1

p1= probabilidad de que aparezca el número 1 = 1/6

p2 = probabilidad de que aparezca el número 2 = 1/6

p3 = probabilidad de que aparezca el número 3 = 1/6

 

 

                     

 

Ejemplos:

1. Las probabilidades son de 0.40, 0.20,  0.30 y 0.10, respectivamente, de que un delegado llegue por aire a una cierta convención, llegue en autobús, en automóvil o en tren. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 9 delegados seleccionados aleatoriamente en esta convención a) 3 hayan llegado por aire, 3 en autobús, 1 en auto y 2 en tren?, b) 4 hayan llegado por aire, 1 en autobús y 2 en auto?, c) 5 hayan llegado en auto?

 

Solución:

a) n = 9

x1= # de delegados que llegan por aire = 3

x2= # de delegados que llegan en autobús = 3

x3= # de delegados que llegan en auto = 1

x4= # de delegados que llegan en tren = 2

 

p1 = probabilidad de que un delegado llegue por aire = 0.40

p2 = probabilidad de que un delegado llegue en autobús = 0.20

p3 = probabilidad de que un delegado llegue en auto = 0.30

p4 = probabilidad de que un delegado llegue en tren = 0.10

             

 

b)     n=9

x1 = 4 por aire;        p1 = 0.40

x2 = 1 en autobús;   p2 = 0.20

x3 = 2 en auto;        p3 = 0.30

x4 = 2 en tren;         p4 = 0.10

 

 

                     

 

c) 

n=9

x1= 5 lleguen en auto;                                  p1 = 0.30

x2 = 4 (lleguen por aire o autobús o tren);   p2 = 0.40+0.20+0.10 = 0.70

 

                     

 

2. De acuerdo con la teoría de la genética, un cierto cruce de conejillo de indias resultará en una descendencia roja, negra y blanca en la relación 8 : 4 : 4. Encuentre la probabilidad de que entre 8 descendientes, a) 5 sean rojos, 2 negros y un blanco, b) 3 sean rojos y 2 sean negros.

 

Solución:

a)

n = 8

x1 = 5 rojos;       p1= prob. Sean rojos = 8/16 = 0.50

x2 = 2 negros;    p2 = prob. Sean negros = 4/16 = 0.25

x3 = 1 blanco;    p3 = prob. Sean blancos = 4/16 = 0.25

 

                

 

b)

n=8

x1 = 3 rojos;             p1 = 0.50

x2 = 2 negros;          p2 = 0.25

x3 = 3 blancos;         p3 = 0.25

 

 

                    

 

3.Según una encuesta preliminar acerca del voto que los ciudadanos darán por los candidatos para gobernador del estado se ha detectado que aproximadamente un 52% votará por el partido verde, un 40% por el partido azul y un 8% por los partidos restantes, si se seleccionan aleatoriamente 6 personas con edad de votar, determine la probabilidad de que: a) 2 voten por el partido verde, 1 por el azul y 3 por el resto de los partidos, b) 2 voten por el partido verde y 4 por el azul.

 

Solución:

a)  n = 6

x1= 2 voten por partido verde;   p1= prob. de que una persona vote por partido verde = 0.52

x2= 1 vote por partido azul;       p2 = prob. de que una persona vote por partido azul = 0.40

x3= 3 voten por otros partidos;  p3 = prob. de que una persona vote por otros partidos = 0.08

 

 

                    

 

b)n = 6

x1= 2 voten por el partido verde; p1= prob. de que una persona vote por partido verde=0.52

x2= 4 vote por partido azul;         p2 = prob. de que una persona vote por partido azul = 0.40

x3= 0 voten por otros partidos;  p3 = prob. de que una persona vote por otros partidos = 0.08